在三角函数的学习中，计算特殊角度的函数值是基础且重要的内容。cos75° 的值看似复杂，但通过三角函数的和角公式或半角公式，可以轻松求解，本文将详细介绍两种常用的计算方法，并解释其背后的数学原理，帮助读者彻底理解这一概念。

利用和角公式计算cos75°

和角公式是三角函数中用于展开两角和或差的公式，对于余弦函数，其公式为：
[ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B ]

为了计算cos75°，我们可以将75°拆分为两个已知角度的和，45° + 30°（因为45°和30°的三角函数值是常见的特殊值），代入公式：
[ \cos75° = \cos(45° + 30°) = \cos45°\cos30° - \sin45°\sin30° ]

已知：

• (\cos45° = \sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2})
• (\cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2})
• (\sin30° = \frac{1}{2})

代入计算：
[ \cos75° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

cos75°的精确值为 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})，约等于 2588（保留四位小数）。

利用半角公式验证

为了验证结果的正确性，我们还可以通过半角公式计算cos75°，半角公式将角度减半后表达为已知角度的函数：
[ \cos \theta = \sqrt{\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}} ]

将75°视为150°的一半（即 (75° = \frac{150°}{2})），已知cos150° = (-\frac{\sqrt{3}}{2})（因为150°位于第二象限，余弦为负），代入公式：
[ \cos75° = \sqrt{\frac{1 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} ]

虽然形式不同，但通过有理化或数值计算可证明 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) 与 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}) 是等价的。

几何意义与单位圆

在单位圆中，cos75°表示角度为75°时，终边与x轴交点的横坐标，通过构造辅助三角形（如15°-75°-90°三角形），也能推导出相同结果，进一步加深对余弦函数的几何理解。

实际应用

cos75°的值在工程、物理和计算机图形学中均有应用。

1. 信号处理：在傅里叶分析中，需计算不同频率分量的相位差。
2. 机械设计：斜面的受力分析可能涉及非标准角度的三角函数。

通过和角公式与半角公式，我们得出 cos75° = (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})，这一过程不仅巩固了三角恒等变换的知识，也展示了数学工具的灵活性，建议读者动手推导其他角度（如cos15°），以强化理解。

小贴士：若需快速记忆，可联想“√6减√2，分母是4”,避免每次重复计算！