根号3（√3）是数学中一个重要的无理数，广泛出现在几何、物理和工程领域，它的近似值为1.732，但背后隐藏着更多有趣的数学性质，本文将详细探讨√3的定义、计算方法、历史背景及其实际应用。

√3的定义与基本性质
√3表示的是平方等于3的正实数，即满足方程 ( x^2 = 3 ) 的解，作为无理数，它无法表示为两个整数的比值，其小数部分无限不循环，以下是√3的前20位小数：
[ \sqrt{3} \approx 1.7320508075688772935 ]

关键性质：

• 是边长为1的等边三角形高的长度。
• 在单位圆中，与30°和60°角相关的三角函数值均涉及√3。

如何计算√3的近似值？
历史上，√3的计算方法多样，以下是两种经典方式：

（1）几何法
古希腊人通过尺规作图发现，边长为1的等边三角形的高为 ( \frac{\sqrt{3}}{2} )，由此推导出√3的值。

（2）迭代法（如巴比伦算法）
通过迭代公式 ( x_{n+1} = \frac{x_n + \frac{3}{x_n}}{2} ) 逐步逼近。

• 初始猜测 ( x_0 = 2 )
• 第一次迭代：( x_1 = \frac{2 + \frac{3}{2}}{2} = 1.75 )
• 第二次迭代：( x_2 \approx 1.73214 )，已接近精确值。

√3的历史与文化意义

• 古巴比伦：公元前1800年的泥板记载了√3的近似值（1.73205），精度惊人。
• 印度数学：公元5世纪，《阿耶波多历算书》将√3描述为“无法精确表示的数”。
• 现代应用：从交流电的三相系统到晶体结构分析，√3无处不在。

实际应用场景
（1）几何与建筑

• 六边形和正四面体的边长计算均依赖√3。
• 埃菲尔铁塔的部分结构比例基于√3，以保持稳定性。

（2）物理学

• 三相电压的线电压与相电压关系为 ( V{\text{线}} = \sqrt{3} \times V{\text{相}} )。
• 量子力学中，某些晶格常数包含√3因子。

为什么√3是无理数？
通过反证法可证明：假设√3是有理数，即 ( \sqrt{3} = \frac{a}{b} )（a、b互质），则 ( 3b^2 = a^2 )，这意味着a²是3的倍数，进而a也是3的倍数，设a=3k，代入得 ( b^2 = 3k^2 )，同理b也是3的倍数，与a、b互质矛盾，3必然是无理数。

√3不仅是数学中的一个符号，更是连接理论与实践的桥梁，从古代文明的智慧到现代科技的精密计算，它的身影始终不可或缺，下次当你看到1.732时，不妨想想这个数字背后跨越千年的故事。

小知识：√3的连分数表示为 [1; 1, 2, 1, 2, \ldots],呈现出有趣的循环模式。