演化博弈论是研究群体行为动态变化的重要工具,而相位图（Phase Diagram）能直观展示策略的演化趋势和稳定状态，本文将分步骤详解如何绘制演化博弈的相位图，并结合实例帮助理解。

理论基础：演化博弈与相位图

演化博弈论结合了传统博弈论和动态系统理论,分析群体中策略的长期演化，相位图通过在二维平面上绘制策略频率的变化方向，揭示系统的稳定点（如演化稳定策略ESS）、鞍点或周期震荡行为。

绘制相位图的步骤

定义博弈模型

选择经典模型（如鹰鸽博弈、囚徒困境），设定策略集和收益矩阵。

• 策略A：合作，策略B：背叛
• 收益矩阵：( \begin{bmatrix} R & S \ T & P \end{bmatrix} )

计算适应度（Fitness）

假设群体中策略A的频率为( x )，策略B为( 1-x )，计算两种策略的期望收益（适应度）：
[ f_A = xR + (1-x)S ]
[ f_B = xT + (1-x)P ]

建立复制者动态方程

描述策略频率随时间的变化：
[ \frac{dx}{dt} = x(1-x)(f_A - f_B) ]
化简后得到微分方程，
[ \frac{dx}{dt} = x(1-x)[(R-T+S-P)x + (P-S)] ]

确定临界点与稳定性

解方程( \frac{dx}{dt} = 0 )，找到平衡点（如( x=0, x=1 )，或内部解( x^* )），通过雅可比矩阵判断稳定性：

• 若导数( \frac{d}{dx}(\frac{dx}{dt}) < 0 )，则为稳定点；
• 若导数>0，则为不稳定点。

绘制相位图

• 坐标轴：横轴为策略A的频率( x )（0到1），纵轴为变化率( \frac{dx}{dt} )。
• 箭头方向：根据( \frac{dx}{dt} )的正负标注演化方向（如箭头向右表示( x )增加）。
• 标注平衡点：用实心圆表示稳定点，空心圆表示不稳定点。

实例演示：鹰鸽博弈

假设收益矩阵为：
[ \begin{bmatrix} -2 & 4 \ 0 & 2 \end{bmatrix} ]

1. 计算复制者动态方程：
   [ \frac{dx}{dt} = x(1-x)(-6x+2) ]
2. 平衡点：( x=0, x=1, x^*=\frac{1}{3} )。
3. 稳定性分析：
   • ( x=0 )和( x=1 )不稳定（导数>0），
   • ( x^*=\frac{1}{3} )稳定（导数<0）。
4. 绘图：在( x=0.33 )处标注稳定点，箭头向此处汇聚。

常见问题与技巧

1. 多策略情况：需扩展至高维相位图（如三维坐标系）。
2. 参数敏感性：调整收益值观察相位图变化（如从囚徒困境转向协调博弈）。
3. 工具推荐：使用MATLAB、Python（Matplotlib）或相位图专用软件（如PhasePlotter）。

相位图是演化博弈分析的“可视化语言”，通过系统化的建模与绘图，能快速识别群体行为的演化规律，掌握这一工具，对研究社会学、生物学或经济学中的策略互动至关重要。

注：实际绘图时需结合具体模型参数，本文仅提供通用框架，进阶研究可参考《Evolutionary Game Theory》by J. Maynard Smith。